题目内容

已知抛物线y=ax²-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为B（ $数学公式$ ，-c），求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线y=-x+k与 y轴的交点为C，若tan∠POB= $数学公式$ tan∠POC，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为______．

解：（1）抛物线y=ax²-（a+c）x+c与x轴交点的横坐标是关于x的方程ax²-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．
解得x₁=1， $\text{[math]}$ ．
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0）， $\text{[math]}$

（2）抛物线y=ax²-（a+c）x+c的顶点A的坐标为 $\text{[math]}$ ．
∵经过此抛物线顶点A的直线y=-x+k与此抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
由③得c=0．
将其代入①、②得 $\text{[math]}$
解得a=-2．
∴所求抛物线的解析式为y=-2x²+2x．

（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．（如图）

抛物线y=-2x²+2x的顶点A的坐标 $\text{[math]}$ ，
点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（m，n）．
∵点P在x轴上方的抛物线y=-2x²+2x上，
∴n=-2m²+2m，且0＜m＜1， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴m²=4n²．
解得m=2n，或m=-2n（舍去）．
将m=2n代入n=-2m²+2m，得8n²-3n=0．
解得 $\text{[math]}$ ，n₂=0（舍去）．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴点P的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（4）N关于n的函数关系式为N=4n．
说明：二次函数y=-2x²+2x的自变量x在n≤x＜n+1（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴-2n²-2n＜y≤-2n²+2n，
其中的整数有-2n²-2n+1，-2n²-2n+2，-2n²+2n．N=（-2n²+2n）-（-2n²-2n）=4n．
分析：（1）利用二次函数与x轴相交y=0，即可解决．
（2）首先表示出二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求出．
（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，利用三角函数关系解决．
（4）借助自变量的取值范围，代入二次函数解析式，即可解决．
点评：此题主要考查了二次函数与x轴的交点坐标，以及二次函数顶点坐标的表示方法，二次函数解析式的求法等，综合性比较强．