Question

探究归纳：分月饼中的数学问题
一个月饼放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成2块，2刀最多可以切成4块；3刀最多可以切成7块，4刀最多可以切成11块（如图）．

上述问题转化为数学模型实际上就是n条直线最多把平面分成几块的问题，有没有规律呢？请先进行试验，然后回答以下问题．
（1）填表：

直线条数	1	2	3	4	5	6	…
分成的最多平面数	2	4	7	11			…

（2）设n条直线把平面最多分成的块数是S，请写出S关于n的表达式．
（3）如果x条直线把平面最多分成的块数是56，则求出x的值．

Answer 1

分析：（1）当有1条直线时，平面数为1+1=2；
有2条直线时，平面数有1+1+2=4；
有3条直线时，平面数有1+1+2+3=7；
…
有5条直线时，平面数为1+1+2+3+4+5；
有6条直线时，平面数有1+1+2+3+4+5+6，计算即可；
（2）S=1+1+2+3…+n，整理即可；
（3）利用（2）得到是式子代入求值即可．

解答：解：（1）

直线条数	1	2	3	4	5	6	…
分成的最多平面数	2	4	7	11	16	22	…

（2）S=1+（1+2+3…+n）=1+

(n+1)n

2

=

n2+n+2

2

；
（3）

x2+x+2

2

=56，
（x+11）（x-10）=0，
解得x₁=-11，x₂=10．
答：x为10．

点评：考查规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．