题目内容
【题目】（本题共10分）如图，在平面直角坐标系中，
与
轴相交于
，
两点，与
轴相切于点
．
（1）求经过
，
，
三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为
，证明：直线
与相切；
（3）在轴下方的抛物线上，是否存在一点
，使
面积最大，最大值是多少？并求出点的坐标．
【答案】（1）
；
（2）∵
=
，∴
，
设直线
的函数解析式为
，
则
，解得
∴
，
∵ 直线与
轴交于点
，
∴在中，
，
，
∴
，
如图1，连接
，
，
，
则
， 
= 
∴
，
.......... （1分）
在
与
中，
∵
，
∴
，
∴
.......... （2分）
∵
与
轴相切于点
，
∴
，
∴
，
∵点
在上，
∴直线
与相切.......... （4分）
（3）存在，最大值是
，
．
【解析】
试题分析：
（1）把
，
，
代入二次函数的解析式即可得到结果；
（2）由
，得到顶点
的坐标
，求得直线
的解析式
，在
中，，，∴，连接，，，得，，证得
，得到，由于与
轴相切于点，于是得到，即可求得结论；
（3）连接
，
，
，设
，过
作
轴交
于点
，求得直线
的解析式为
，得到点
的坐标为
，于是得到
，
推出
，
即可得到结论．
试题解析：
解：（1）设抛物线的解析式为：
，
把，
，代入得
，解得
．
∴经过
，
，
三点的抛物线的函数表达式为：
.......... （1分）
（2）∵=，∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得
∴，
∵ 直线与轴交于点，
∴在中，，，
∴，
如图1，连接，，，
则， =
∴，.......... （1分）
在与
中，
∵，
∴，
∴.......... （2分）
∵与轴相切于点，
∴，
∴，
∵点在上，
∴直线与相切.......... （4分）
（3）存在点
，使
面积最大.......... （1分）
如图2连接，，，
设，
过作轴交于点，设直线的解析式为
，
则
，解得
．
∴直线
的解析式为
.......... （2分）
∴点的坐标为
，
∴
，
∴
.......... （3分）
∴当
时，
最大，最大值是
.......... （4分）
当时，
，
∴
.......... （5分）
