Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB。
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为。

（1）请在横线上直接写出抛物线C₂的解析式：______；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）当时，为等腰直角三角形 理由如下：如图： ∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上， ∴AC=BC 过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E ∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n）， ∴CE=1 又∵点C的坐标为（0，n）， ∴AE=1+n-n=1 ∴AE=CE 从而∠ECA=45°， ∴∠ACy=45° 由对称性知∠BCy=∠ACy=45°， ∴∠ACB=90° ∴△ABC为等腰直角三角形。
（3）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC 由（2）知，AC=BC， ∴AB=BC=AC 从而△ABC为等边三角形 ∴∠ACy=∠BCy=30° ∵四边形ABCP为菱形，且点P在C1上， ∴点P与点C关于AD对称 ∴PC与AD的交点也为点E， 因此∠ACE=90°-30°=60° ∵点A，C的坐标分别为A（m，m2+n），C（0，n）， ∴AE=m2+n-n=m2，CE=|m| 在Rt△ACE中， ∴ ∴ 故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时。