Question

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2

5

，sin∠BCP=

5

5

，求⊙O的半径及△ACP的周长．

Answer 1

（1）证明：连接AN，
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BCP+∠ACN=90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴CP是⊙O的切线；

（2）∵∠ANC=90°，sin∠BCP=

5

5

，
∴

CN

AC

=

5

5

，
∴AC=5，
∴⊙O的半径为

5

2

如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由（1）得BN=CN=

1

2

BC=

5

，
在Rt△CAN中，AN=

AC2-CN2

=2

5

在△CAN和△CBD中，
∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴

BC

AC

=

BD

AN

，
∴BD=4．
在Rt△BCD中，CD=

BC2-BD2

=2，
∴AD=AC-CD=5-2=3，
∵BD∥CP，
∴

BD

CP

=

AD

AC

，

AD

DC

=

AB

BP

∴CP=

20

3

，BP=

10

3

∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．