Question

四边形ABCD中，AD、BC的延长线交于E，AB、DC的延长线交于F，∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，∠A=44°，∠BCD=136°，
（1）求证：∠CBF=∠ADC；
（2）求∠PEB+∠PFC；
（3）求∠EPF．

Answer 1

分析：（1）根据四边形内角和定理得到∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠BCD=180°，根据邻补角定义得∠ABC+∠CBF=180°，所以∠CBF=∠ADC；
（2）根据三角形内角和定理得∠A+∠ADC+∠AFD=180°，∠A+∠AEB+∠ABE=180°，整理有2∠A+∠ADC+∠ABE+∠AFD+∠AEB=360°，利用（1）的结论得到∠AFD+∠AEB=92°，然后根据角平分线的定义可计算出∠PEB+∠PFC=46°；
（3）利用三角形内角和定理得到∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF，根据三角形外角性质得∠EDF=∠A+∠AFD=∠A+2∠PFD，则∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠A+2∠PFD，然后利用（2）的结论进行计算即可．

解答：（1）证明：∵∠A=44°，∠BCD=136°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠BCD=180°，
而∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠ADC；

（2）解：∵∠A+∠ADC+∠AFD=180°，
∠A+∠AEB+∠ABE=180°，
∴2∠A+∠ADC+∠ABE+∠AFD+∠AEB=360°，
∴∠AFD+∠AEB=360°-2×44°-180°=92°，
∵∠AEB、∠AFD的平分线交于点P，
∴∠PEB+∠PFC=

1

2

（∠AEB+∠AFD）=

1

2

×92°=46°；

（3）解：∵∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF，
而∠EDF=∠A+∠AFD=∠A+2∠PFD，
∴∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠A+2∠PFD，
∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠PFD=44°+46°=90°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．