题目内容

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若
a
c
+
b
c
=-1，则方程ax2+bx+c=0一定有一根是x=1；
②若c=a3，b=2a2，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
③若a＜0，b＜0，c＞0，则方程cx2+bx+a=0必有实数根；
④若ab-bc=0，且
a
c
＜-1，则方程cx2+bx+a=0的两实数一定互为相反数．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④B．①②④C．①③D．②④
①若
a
c
+
b
c
=-1，两边同时乘以c得到a+b+c=0，在ax2+bx+c=0中令x=1，就得到a+b+c=0，即x=1能使方程的左右两边相等，因而x=1是方程的解；
②若c=a3，b=2a2，则方程根的判别式△=b2-4ac=4a4-4ac=4a4-4a4=0，∴方程两个相等的实数根．
③方程根的判别式△=b2-4ac，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴△=b2-4ac＞0一定成立，因而方程cx2+bx+a=0必有实数根．
④ab-bc=0即b（a-c）=0，又∵
a
c
＜-1，则a-c≠0，∴b=0，根据韦达定理：两根的和是-
b
a
=0即两实数一定互为相反数．
所以正确的答案为①②③④．
故本题选A．
练习册系列答案
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对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

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解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

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　　将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

　　解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

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x1＝________，x2＝________．

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