Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD．

Answer 1

分析：（1）即证∠BAF=∠CAF．根据圆周角定理转证

BF

=

CF

．连接切点和圆心，运用切线的性质和垂径定理可证；
（2）可证∠DBF=∠BDF．运用三角形的外角性质和（1）的结论证明．

解答：证明：（1）连接OF．（如图1）
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH．                   
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC，
∴

BF

=

FC

，
∴AF平分∠BAC；        

（2）∵AF平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵BD平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
又∵∠5=∠2（圆周角定理），
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠1+∠4=∠5+∠3，
∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD．

点评：此题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点，综合性较强，难度较大．