Question

已知：如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB＞AE) (1) △AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由. (2) 设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BCF?若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：相似;延长FE与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，因为E是AD的中点，所以AE＝ED，∠AEF＝∠DEG，所以△AFE≌△DGE，所以∠AFE＝∠DGE，所以E为FG的中点，又CE上FG，所以FC＝GC，所以∠CFE＝∠G，所以∠AFE＝∠EFC．又因为△AEF与△EFC均为直角三角形，所以△AEF∽△ECF
(2)	存在;当∠BCF＝∠AEF时，即当k＝时，△AEF∽△BCF．证明：当时，，所以∠ECG＝，所以∠ECG＝∠ECF＝∠AEF≈，所以∠BCF＝－＝．又因为△AEF与△BCF均为直角三角形，所以△AEF∽△BCF．因为EF不平行于BC，所以∠BCF≠∠AFE，所以不存在第二种相似情况