题目内容
【题目】如图，抛物线
（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3） 点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，D（
，
）；（2）P（，
）；（3）存在．N（
，
）或（
，）或（
，
）或（
，）．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可；
（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．
试题解析：（1）由于抛物线
（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，因此把A、B两点的坐标代入 （a≠0），可得：
；解方程组可得：
，故抛物线的解析式为：，∵=
，所以D的坐标为（，）．
（2）如图1，设P（，k），∵，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），∴A、B两点关于对称轴对称，连接CB交对称轴于点P，则△ACP的周长最小．设直线BC为y=kx+b，则：
，解得：
，∴直线BC为：
．当x=时，
=，∴P（，）；
（3）存在．如图2，过点作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=
，tan∠OCB=
=2，设点N（m，
），∴FN=|m﹣
|，FD=|
|=|
|，∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB；
①当∠MDN=∠OBC时，∴tan∠MDN=
=，∴
，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；
②当∠MDN=∠OCB时，∴tan∠MDN==2，∴
，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；
∴符合条件的点N的坐标（，）或（，）或（，）或（，）．
