题目内容

已知抛物线y=ax²+（ $数学公式$ +3a）x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

解：依题意，得点C的坐标为（0，4），
设点A、B的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（ $\text{[math]}$ +3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=- $\text{[math]}$ ，
∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（ $\text{[math]}$ ，0），
∴AB=|- $\text{[math]}$ +3|，AC= $\text{[math]}$ =5，BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AB²=|- $\text{[math]}$ +3|²= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +9，
AC²=25，BC²= $\text{[math]}$ +16．
（ⅰ）当AB²=AC²+BC²时，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +9=25+ $\text{[math]}$ +16，
解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴当a=- $\text{[math]}$ 时，点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
AB²= $\text{[math]}$ ，AC²=25，BC²= $\text{[math]}$ ，
于是AB²=AC²+BC²，
∴当a=- $\text{[math]}$ 时，△ABC为直角三角形．
（ⅱ）当AC²=AB²+BC²时，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +9+ $\text{[math]}$ +16，
解得a= $\text{[math]}$ ．
当a= $\text{[math]}$ 时，- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =-3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
＜ⅲ＞当BC²=AC²+AB²时，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +9= $\text{[math]}$ +16，
解得a= $\text{[math]}$ ，
不合题意．
综合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，当a=- $\text{[math]}$ 时，△ABC为直角三角形．
分析：可根据抛物线的解析式表示出A、B、C的坐标，然后分别表示出AB、AC、BC的长，可根据∠BAC=90°，∠BCA=90°，∠ABC=90°三种不同情况用勾股定理求出a的值．
点评：本题考查了二次函数的应用、直角三角形的判定和勾股定理等知识．