Question

如图，△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，∠MAC=∠BAN，则△ABC的面积是

 

．

Answer 1

分析：首先由等腰三角形的性质求得∠BAC=∠C，又由∠MAC=∠BAN与MN=AM，求得：∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，然后过B作BG⊥AM于G，过C作CH⊥AM于H，由三角函数的性质与余弦定理求得BG，BM，CM与CH的长，则由S_△ABC=

1

2

•AM•（BG+CH），即可求得△ABC的面积．

解答：解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
又∵∠MAC=∠BAN，
∴2∠MAC+∠NAM=∠C，
又∵MN=AM，
∴∠NAM=∠ANM，
又∵∠AMN=∠MAC+∠C+∠AMN=180°-2∠NAM，
即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM，∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM，
∴∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60°，
过B作BG⊥AM于G，过C作CH⊥AM于H，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAG=60°，
∴BG=5

3

，
根据余弦定理可求得：BM=2

19

，CM=10-2

19

，
∴

CH

BG

=

CM

BM

，
∴CH=

5 3 (10-2 19 )

2 19

，
∴S_△ABC=

1

2

•AM•（BG+CH）=

1

2

×4×[5

3

+

5 3 (10-2 19 )

2 19

]=

50 57

19

．
故答案为：

50 57

19

．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，三角函数的性质，余弦定理以及三角形面积问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时注意数形结合思想的应用．