Question

平面直角坐标系中，⊙O₁的坐标为（-4，0），以O₁为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点．过A点作直线l与x轴负方向相交成60°角，以点O₂（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式．
（2）将⊙O₂以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，几秒时⊙O₂和⊙O₁第一次相切．
（3）直线l向右与⊙O₂向左同时开始沿x轴平移，当⊙O₂第一次与⊙O₁相切时，直线l也恰好与⊙O₂第一次相切．求直线l平移的速度．

Answer 1

分析：（1）求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）设⊙O₂平移t秒后到⊙O₃处与⊙O₁第一次外切于点P，⊙O₃与x轴相切于D₁点，连接O₁O₃，O₃D₁，在直角△O₁O₃D₁中，根据勾股定理，就可以求出O₁D₁，进而求出D₁D的长，得到平移的时间．
（3）根据切线长定理得出∠MZO₃=∠O₃ZD₁=60°，在Rt△O₃D₁Z中，解直角三角形求出D₁Z=

O3D1

tan60°

=

5

3

3

，即可求出在5秒内直线l的平移的距离，最后除以5即可．

解答：解：（1）由题意得OA=|-4|+|8|=12，
∴A点坐标为（-12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12

3

．
∴C点的坐标为（0，-12

3

）．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由l过A、C两点，
得：

-12k+b=0 b=-12 3

，解得：

b=-12 3 k=- 3

，
∴直线l的解析式为：y=-

3

x-12

3

；

（2）如图，设⊙O₂平移t秒后到⊙O₃处与⊙O₁第一次外切于点P，⊙O₃与x轴相切于D₁点，连接O₁O₃，O₃D₁．
则O₁O₃=O₁P+PO₃=8+5=13，
∵O₃D₁⊥x轴，
∴O₃D₁=5，
在Rt△O₁O₃D₁中，O₁D₁=

132-52

=12，
∵O₂的坐标是（13，5），O₁的坐标是（-4，0），
∴OD₁=12-4=8，
∴D₁D=13-8=5（秒）．
∴⊙O₂平移的时间为5秒．

（3）直线l平移到MN，和⊙O₃相切，此时直线MN交x轴于Z，
则∠MZO=60°，
∵⊙O₃切直线x轴于D₁，
∴∠MZO₃=∠O₃ZD₁=

1

2

（180°-60°）=60°，
在Rt△O₃D₁Z中，O₃D₁=5，
∴D₁Z=

O3D1

tan60°

=

5

3

=

5

3

3

，
∴在5秒内直线l的平移的距离AZ=AO₁+O₁D₁-ZD₁=8+12-

5

3

3

=20-

5

3

3

，
（20-

5

3

3

）÷5=4-

3

3

，
∴直线l平移的速度为每秒（4-

3

3

）个单位．

点评：本题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，全等三角形的判定，图形的平移变换等多个知识点．考查学生综合运用数学的能力．