Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG=BH；
（2）FC²=BF•GF；
（3）=．

Answer 1

（1）△ABH≌△BCG，∴CG=BH   （2）△CFG∽△BFC，∴=，即FC²=BF•GF
（3）∵AB=BC，∴AB²=BG•BF（具体过程见解析）

试题分析：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH；
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴=，
即FC²=BF•GF；   
（3）由（2）可知，BC²=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB²=BG•BF，
∴==，
即=．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由垂足得出互余关系求角相等，由边相等证明三角形全等，由角相等证明相似三角形，利用性质解题．