Question

已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．

（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）

（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

       解：（1）如图1，

∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，

∴ME∥CF，

∵M为BC的中点，

∴E为BF中点，

∴ME是△BFC的中位线，

∴EM=CF．

（2）图2的结论为：ME=（BD+CF），

图3的结论为：ME=（CF﹣BD）．

图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠DBM=∠KCM

在△DBM和△KCM中

，

∴△DBM≌△KCM（ASA），

∴DB=CK   DM=MK

由题意知：EM=FK，

∴ME= （CF+CK）= （CF+DB）   

图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠MBD=∠KCM

在△DBM和△KCM中

，

∴△DBM≌△KCM（ASA）

∴DB=CK，DM=MK，

由题意知：EM=FK，

∴ME=（CF﹣CK）=（CF﹣DB）．