Question

（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=

4

5

，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

Answer 1

分析：（1）作DB垂直于BC，连DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sinA的值求出即可；
（2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sinA求出BF/AB，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．

解答：（1）解：作DB垂直于BC，连DC，
∵∠DBC=90°，∴DC为直径．
∵∠A=∠D，BC=5，sinA=

4

5

，
∴sinD=

BC

CD

=

4

5

，
∴CD=

25

4

，
答：三角形ABC外接圆的直径是

25

4

．

（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sinA=

4

5

=

BF

AB

，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，
AC=2AF=6，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴

1

2

AB×R+

1

2

BC×R+

1

2

AC×R=

1

2

AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4，
∴R=

3

2

，
在△AIF中，AF=3，IF=

3

2

，由勾股定理得：AI=

3

2

5

．
答：AI的长是

3

2

5

．

点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．