Question

（2013•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C，动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发速度均为1个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）连接PQ交线段OB于点E．过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PE，QG，当t为何值时，2BQ-PF=

3

3

QG？

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=90°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，以及AC=6，求出BC即可；
（2）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及

OE

QN

=

PO

PN

，表示出OE的长，利用m=BE=OB-OE求出即可；
（3）首先得出△AE′C为等边三角形，进而得出∠QGA=90°，由EF∥OC，得出

BF

BC

=

BE

BO

，再得出△FCP∽△BCA，利用2BQ-PF=

3

3

QG求出t的值即可．

解答：解：（1）如图1，∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°，
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=ACcos30°=

3

2

AC=3

3

；

（2）如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA，
∴△AQN为等边三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∵OE∥QN，
∴△POE∽△PNQ，
∴

OE

QN

=

PO

PN

，
∴

OE

3-t

=

1

2

，
∴OE=

3

2

-

1

2

t，
∵EF∥x轴，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°，
∴EF=BE，
∴m=BE=OB-OE=

1

2

t+

3

2

（0＜t＜3）；


（3）如备用图：
∵∠BE′F′=∠BEF=180°-∠EBF-∠EFB=120°，
∴∠AE′G=60°=∠E′AC，
∴GE′=GA，
∴△AE′G为等边三角形，
∵Q′E=BE′-BQ=m-t=

1

2

t+

3

2

-t=

3

2

-

t

2

∴GE′=GA=AE′=AB-BE′=

3

2

-

1

2

t=QE′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠QGA=90°，
∴QG=

3

AG=

3

2

3

-

1

2

3

t，
∵EF∥OC，
∴

BF

BC

=

BE

BO

，
∴

BF

3 3

=

m

3

，
∴BF=

3

m=

3

2

t+

3 3

2

，
∵CF=BC-BF=

3

2

3

-

1

2

3

t，CP=CO-OP=3-t，
∴

CF

CB

=

3 2 3 - 1 2 3 t

3 3

=

3-t

6

=

CP

CA

∵∠FCP=∠BCA，
∴△FCP∽△BCA，
∴

PF

AB

=

CP

CA

，
∴PF=

3-t

2

，
∵2BQ-PF=

3

3

QG，
∴2t-

3-t

2

=

3

3

×（

3 3

2

-

1

2

3

t）
解得：t=1，
∴当t=1时，2BQ-PF=

3

3

QG．

点评：此题主要考查了相似三角形的综合应用以及等边三角形的性质等知识，根据数形结合得出△FCP∽△BCA是解题关键．