Question

（2013•甘井子区一模）如图1，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠BAC=∠DAE=m，CE、DB交于点F，连接AF．
（1）如图2，当m=90°时，猜想BD、CE的关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，猜想线段AF、BF、CF数量关系，并证明你的结论；
（3）直接写出AF、BF、CF数量关系（用含m的三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）由∠BAC=∠DAE=90°就可以得出∠CAE=∠BAD，再根据AC=AB，AE=AD，可以证得△BAD≌△CAE，由全等三角形的性质就可以得出CE=BD，∠ACE=∠ABD，就可以得出∠BFC=∠BAC=90°，从而得出结论．
（2）过点A作AP⊥AF，交CE于点P，就可以得出∠CAP=∠BAF，就可以得出△ACP≌△ABF，就有AP=AF，由勾股定理就可以求出PF=

2

AF，进而可以得出结论；
（3）过点A作AP⊥AF交CE于点P，可以得出△ABC∽△FBK，就有△KBC∽△FBA，根据等腰三角形的性质就可以得出

1 2 KB

BF

=sin

m

2

，从而得出结论．

解答：解：（1）BD=CE，BD⊥CE．
理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD．
∵∠AHC+∠ACE=90°，∠AHC=∠BHE，
∴∠BHE+∠ABD=90°，
∴∠BFC=90°
∴BD⊥CE；

（2）猜想：CF=BF+

2

AF     
过点A作AP⊥AF交CE于点P
∴∠BAC=∠PAF=90°
∴∠BAC-∠PAO=∠PAF-∠PAO
∴∠PAC=∠FAB
∵∠ACE=∠DBA，AC=BC
∴△PAC≌△FAB      
∴CP=BF，AP=AF     
∴△APF为等腰直角三角形
∴PF=

2

AF
∴CF=BF+

2

AF；

（3）猜想：CF=BF+2AFsin

m

2

．
理由：在CF上取FK=FB，
∴∠FBK=∠FKB=

1

2

（180-∠BFK）．
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠CAB=∠BFK，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC），
∴∠ABC=∠FBK．
∴△ABC∽△FBK，
∴

AB

BF

=

BC

BK

．
∵∠ABC=∠FBK，
∴∠ABC-∠ABK=∠FBK-∠ABK，
∴∠KBC=∠FBA．
∴△KBC∽△FBA，
∴

KC

FA

=

KB

BF

，
∴CK=AF•

KB

BF

．
∵

1 2 KB

BF

=sin

m

2

，
∴

1

2

KB=BF•sin

m

2

，
∴KB=2BF•sin

m

2

，
∴CK=AF•

2BF•sin m 2

BF

=AF•2sin

m

2

，
∴CF=BF+2AFsin

m

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，锐角三角函数的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键，证明三角形相似是难点．