Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PE=.

【解析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；

（2）由三角形中位线定理可得AE=2OF，由勾股定理可得AE=8，再由勾股定理可得PB的长．

（1）证明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB=PE，OB=OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO=∠QBO，

在△BOQ与△EOP中，

，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE=QB，

又∵AD∥BC，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

又∵QB=QE，

∴四边形BPEQ是菱形；

（2）∵点F为AB的中点，OB=OE，OF+OB=9，

∴AE=2OF，BE=2OB，AE+BE=18

设AE=x，BE=18-x，

∵BE2=AB2+AE2，

∴（18-x）2=36+x2，

∴x=8

∵AB2+AP2=PB2，

∴36+（8-PB）2=PB2，

∴PB=

∴PE=.