Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，M、N分别在AB、AD边上，若△CMN为正三角形，则此正三角形的边长为

 

．

Answer 1

分析：先设DN=x，AM=y，利用勾股定理可分别求出等边三角形MNC的三边长，联立，解二元二次方程组，可求x、y，从而求出等边三角形MNC的边长．

解答：解：设DN=x，AM=y，
在Rt△CDN中，有CD²+DN²=CN²，即1+x²=CN²；
在Rt△AMN中，有AN²+AM²=MN²，即（1-x）²+y²=MN²；
在Rt△BCM中，有BM²+BC²=CM²，即（1-y）²+1=CM²；
∵△CMN是等边三角形，
∴MN=CM=CN，
∴1+x²=（1-x）²+y²=（1-y）²+1，
解得y=

3

-1，x=2-

3

，
∴CN²=1+（2-

3

）²=8-4

3

=（

6

-

2

）²，
∴CN=

6

-

2

．

点评：本题利用了勾股定理、等边三角形的性质、解二元二次方程组等知识．