Question

如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1，0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，连接CP，⊙P的半径为2．
（1）写出A、B、D三点坐标；
（2）若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M，交y轴于N，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出OC，根据垂径定理求出OD=OC，即可得出答案；
（2）连接PQ，求出∠CPO，求出∠QPM，求出PM，得出M的坐标，求出MN=2ON，根据勾股定理求出ON，得出N的坐标，设直线MN的解析式是y=kx+b，把M、N的坐标代入求出即可．

解答：（1）解：∵P（1，0），⊙P的半径是2，
∴OA=2-1=1，OB=2+1=3，
在Rt△COP中，PC=2，OP=1，由勾股定理得：OC=

3

，
由垂径定理得：OD=OC=

3

，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，

3

），D（0，-

3

）．

（2）解：连接PQ，
在Rt△COP中sin∠CPO=

3

2

，
∴∠CPO=60°，
∵Q为弧BC的中点，
∴∠CPQ=∠BPQ=

1

2

（180°-60°）=60°，
∵MN切⊙P于Q，
∴∠PQM=90°，
∴∠QMP=30°，
∵PQ=2，
∴PM=2PQ=4，
在Rt△MON中，MN=2ON，
∵MN²=ON²+OM²，
∴（2ON）²=ON²+（1+4）²，
∴ON=

5 3

3

，
∴M（5，0），N（0，

5 3

3

），
设直线MN的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=5k+b 5 3 3 =b

，
解得：k=-

3

3

，b=

5 3

3

，
∴直线MN的解析式是y=-

3

3

x+

5 3

3

．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点的运用，关键是求出M、N的坐标，用的数学思想是方程思想，题目比较好，难度也适中．