Question

如图，矩形ABCD中，∠DOC=60°，AB=1，AE平分∠BAD交BC于E，连接OE，下列说法错误的是

1. A.
   ∠EAC=15°
2. B.
   ∠BOE=75°
3. C.
   OE=EC
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由四边形ABCD是矩形得到OA=OB，又因为∠DOC=60°，得到等边三角形OAB，推出AB=OB，求出∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE，根据三角形的内角和定理即可求出∠BOE的度数，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出CE的长．
解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE=1，
∵∠EAC=∠BAO-∠BAE=60°-45°，
∴∠CAE=15°，（故答案A正确）
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=（180°-30°）=75°，（故答案B正确），
假设OE=CE，则∠OEC=180°-2∠OCE=180°-60°=120°，
由四边形的内角和可知∠EOD=90°，
∴OE⊥BD，
∵AE是角平分线，
∴BE=OE，
则E必是中点，但条件没有，（故答案C错误），
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴AC=2AC=2，
∴BC==，
∵AB=BE=1，
∴CE=-1，（故答案D正确）
故选C．
点评：主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理的运用，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．