Question

已知抛物线y=x²+（k²﹣3k﹣4）x+2k与x轴从左至右交于A、B两点，且这两点关于原点对称。
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，若反比例函数的图象与抛物线y=x²+（k²﹣3k﹣4）x+2k从左至右交于Q、R、S三点，且Q的坐标（﹣1，﹣1），R的坐标（），S的坐标（），求四边形AQBS的面积；
（3）在（1）、（2）条件下，在轴下方抛物线y=x²+（k²﹣3k﹣4）x+2k上是否存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设A点坐标为（x₁，0），B点坐标为（x₂，0），
∵A、B两点关于原点对称，
∴x₁+x₂=0，又x₁+x₂=﹣（k²﹣3k﹣4），
则k²﹣3k﹣4=0，
解得k₁=﹣1，k₂=4，
当k=4时，抛物线为y=x²+8，
此时△=﹣32＜0，舍去；
当k=﹣1时，抛物线为y=x²﹣2，
此时△=8＞0，则抛物线与x轴交于两点，
故所求k值为﹣1；
（2）由（1）知A（-，0），B（，0），
∴AB=2，
则四边形AQBS的面积为：
S_△AQB+S_△ASB=·AB|﹣1|+AB||=；
（3）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
假设满足条件的点P存在，
则∵S_△PAB=2S_△RAB，
∴点P的纵坐标为：2×（）=﹣1﹣，
而﹣1﹣＜﹣2，
∴P点不存在．即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB。