Question

【题目】如图，直线与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，轴于点M，轴于点N，有以下结论：①；②；③则；④当时，．其中结论正确的是___________

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①②设A（，），B（，），联立y=-x+b与y=得，则=k，又=k，比较可知=，同理可得=，即ON=OM，AM=BN，可证结论；

③作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S△AOB=k；
④延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1；

设A（，），B（，），代入y=中，得==k，

联立，

得，
则=k，又=k，
∴=，
同理=k，
可得=，
∴ON=OM，AM=BN，

∵∠AMO=∠BNO=90，

∴△AOM≌△BON，②正确；
∴OA=OB，①正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，

∵OA=OB，∠AOB=45°，且△AOM≌△BON，
∴∠MOA=∠BON=22.5°，∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=，正确；
④延长MA，NB交于G点，

∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确；

综上，①②③④都正确．