Question

如图，已知抛物线与x交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
（3）若点P为第一象限抛物线上一动点，连接BP、PE，求四边形ABPE面积的最大值，并求此时P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据B的坐标求出c，设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，把A、E的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据点的坐标和勾股定理求出BD、DB、DE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠DBE=90°，求出

AO

BD

=

BO

BE

，根据相似三角形的判定求出即可；
（3）四边形ABPE的面积等于△AOB的面积加上四边形BOQP的面积加上△PQE的面积，根据面积公式代入求出，化成二次函数的顶点式，即可求出答案．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，
根据题意得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．
解法二、∵设解析式是y=a（x-3）（x+1），
把B（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
a=-1，
即y=-1（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）相似，
证明：过D作DF⊥x轴于F，过B作BG⊥DF于G，
如图，BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

，BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

，
DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

，
∴BD²+BE²=20，DE²=20，
∴DB²+BE²=DE²，
∴△BDE是直角三角形，
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE．

（3）解：设点P的坐标为（x，y），过P作PQ⊥X轴于Q，
则SABPE=S△ABO+SBOQP+S△PQE=

1

2

×1×3+

1

2

×(3+y)×x+

1

2

×y×(3-x)=-

3

2

x2+

9

2

x+6=-

3

2

(x-

3

2

)2+9

3

8

，
当x=

3

2

时，四边形ABPE面积最大，
此时，点P的坐标为(

3

2

，

15

4

)．

点评：本题考查了勾股定理及逆定理，二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识点的运用，解此题的关键是综合运用性质进行推理和计算，题型较好，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力．