Question

有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上（如图（2）），折痕交AE于点G．
（1）求∠ADG的度数；
（2）求EG的长．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质和正弦的概念求解．
（2）由于正方形纸片ABCD的边长为2，所以将正方形ABCD对折后AF=DF=1，由翻折不变性的原则可知AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长，进而求出EH的长，再设EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）∵FD=

CD

2

=

AD

2

=

A′D

2

，∠AFD=90°，
∴sin∠FHD=

DF

HD

=

1

2

，
∴∠FHD=∠ADH=30°，
∵∠ADG=∠HDG，
∴∠ADG=15°．

（2）∵正方形纸片ABCD的边长为2，
∴将正方形ABCD对折后AE=DF=1，
∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，
∴AD=DH=2，AG=GH，
在Rt△DFH中，
HF=

HD2-DF2

=

22-12

=

3

，
∴EH=2-

3

，
在Rt△EGH中，设EG=x，则GH=AG=1-x，
∴GH²=EH²+EG²，
即（1-x）²=（2-

3

）²+x²，
解得x=2

3

-3．
即EG的长为2

3

-3．

点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，解答此类题目是最常用的方法是设所求线段的长为x，再根据勾股定理列方程求解．