Question

已知：如图，在⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB上一点，CM的延长线交⊙O于点E，连结DE．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）若M为OB的中点，AB=16，DE=2

15

时，求MC的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接AC，EB，易证得△AMC∽△EMB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AM•MB=EM•MC；
（2）由CD是直径，可得∠DEC=90°，然后由勾股定理求得EC的长，设CM=x，则EM=14-x，由AM•MB=EM•MC；可得方程12×4=x（14-x），解此方程即可求得答案．

解答：（1）证明：连接AC，EB，…（1分）
则∠CAM=∠BEM，…（1分）
又∵∠AMC=∠EMB，
∴△AMC∽△EMB，…（1分）
∴

AM

EM

=

MC

MB

，
即AM•MB=EM•MC；…（2分）

（2）解：∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，…（1分）
∴EC=

DC2-DE2

=

162-(2 15 )2

=14，…（1分）
∵OA=OB=5，M为OB的中点，
∴AM=12，BM=4．
设CM=x，则EM=14-x．
由（1）AM•MB=EM•MC，
得 12×4=x（14-x），…（1分）
解得：x₁=6，x₂=8，
∴CM=6或8． …（2分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．