Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-6，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，-6）．
（1）求此抛物线的函数表达式，写出它的对称轴；
（2）若在抛物线的对称轴上存在一点M，使△MBC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P（0，k）为线段OC上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD∥CM交x于点D，连接MD、MP，设△MPD的面积为S，求当点P运动到何处时S的值最大？

Answer 1

分析：（1）将A、B、C的坐标分别代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值；
（2）由于BC的长为定值，若△MBC的周长最小，那么MB+MC的值最小；由于A、B关于抛物线的对称轴对称，若连接AC，那么AC与抛物线对称轴的交点即为所求的M点；可先求出直线AC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求出M点的坐标；
（3）若DP∥MC，则△ODP∽△OAC，可设出P点的纵坐标，根据相似三角形的比例线段即可求出OD的长，那么三角形DMP的面积可由△OAC、△ADM、△MPC、△ODP的面积差求得，由此可得到关于S与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的P点坐标．

解答：解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，-6），
∴c=-6；
而抛物线过点A（-6，0）、B（2，0），
∴

36a-6b-6=0 4a+2b-6=0

；
解得a=

1

2

，b=2，
即此抛物线的函数表达式为y=

1

2

x2+2x-6；
它的对称轴为直线x=-2；

（2）∵A、B关于对称轴直线x=-2对称，M在对称轴上，
∴AM=BM；
所以当点A，M，C共线时，△MBC的周长最小；
直线AC的解析式是：y=-x-6，
令x=-2，得y=-4，
即点M的坐标为（-2，-4）；

（3）点P（0，k）为线段OC上的一个不与端点重合的动点，
∴-6＜k＜0；
∵PD∥CM，
∴∠ODP=∠OAC，∠OPD=∠OCA，
∴△ODP∽△OAC，
∴

OD

OA

=

OP

OC

，
而OA=OC，
∴OD=OP，即D（k，0）；
∴△MPD的面积S=S_△AOC-S_△AMD-S_△MCP-S_△POD；
即S=

1

2

×6×6-

1

2

×(6+k)×4-

1

2

×(6+k)×2-

1

2

×|k|2=-

1

2

k2-3k；
当k=-3时，S的值最大，最大值为

9

2

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等重要知识点，能够结合轴对称的性质和两点间线段最短的知识来确定点M的位置是解答此题的关键．