Question

如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，CE⊥PE，PB=BO．已知DC=18，求DE的长．

Answer 1

分析：连接AO，AC．由切割线定理得，PA•PD=PB•PC，从而求得Rt△EDC∽Rt△ABC，再由相似三角形的性质求得DE的长．

解答：解：如图，连接AO，AC．（1分）
由AB=AD知，∠BCA=∠ACD．（2分）
又∠BOA=2∠OCA，
所以∠BOA=∠OCD，AO∥DC．（4分）
∵PB=BO=OC，
∴PA=2AD，AO=

2

3

CD=12，（6分）
由切割线定理知PA•PD=PB•PC，6AD²=3BO²=3•12²，（8分）
∴AD=6

2

，
∴AB=AD=6

2

，（10分）
∵Rt△EDC∽Rt△ABC，（12分）
∴

ED

DC

=

AB

BC

，

ED

18

=

6 2

24

，（14分）
∴DE=

9

2

2

．（15分）

点评：本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理．