Question

【题目】平面直角坐标系中，直线，点，点，动点在直线上，动点、在轴正半轴上，连接、、．

（1）若点，求直线的解析式；

（2）如图，当周长最小时，连接，求的最小值，并求出此时点的坐标；

Answer 1

【答案】(1)；（2）最小值为；P点坐标为.

【解析】

（1）设直线的解析式为，根据点M、Q的坐标，利用待定系数法求出k、b的值即可得答案；（2）作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点连接交轴于，交直线于，此时周长最小，根据题意可得点和的坐标，即可求出直线的解析式，联立y=x，即可求出M点坐标，点，作于，作于，则，，，根据∠EAF的正弦值可得，根据垂线段最短可知，、、共线时，的值最小，可得，进而可得直线AE和MK的解析式，联立两个解析式即可求出K点坐标，根据两点距离公式即可求出MK和MQ的值，即可得答案.

（1）设直线的解析式为，

则有，

解得，

直线的解析式为．

（2）如图中，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点连接交轴于，交直线于，此时周长最小．

由题意，，

直线的解析式为，

由，解得，

，

取点，作于，作于，则，，，

，

，

，

根据垂线段最短可知，当、、共线时，的值最小，

∵，，

∴直线的解析式为，

设直线MK的解析式为y=kx+b,

，

∴k=,

把M点坐标代入得：=×+b，

解得：b=，

直线的解析式为，

当y=0时，=0，

解得：x=，

∴P点坐标为（，0）.

由，解得，

，

∴MK==，

MQ==

∴的最小值．此时点的坐标为．