题目内容
如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（
+1）x+
=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）通过解一元二次方程x2-（
+1）x+
=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；
（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．
解答：解：（1）x2-（
+1）x+
=0，
（x-
）（x-1）=0，
解得x1=
，x2=1，
∵OA＜OB，
∴OA=1，OB=
，
∴A（1，0），B（0，
），
∴AB=2，
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4，
∴C（-3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2
．
①当点M在CB边上时，S=2
-t（0≤t
）；
②当点M在CB边的延长线上时，S=t-2
（t＞2
）；
（3）存在，Q1（-1，0），Q2（1，-2），Q3（1，2），Q1（1，
）．
点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．
+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；
（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．
解答：解：（1）x2-（
+1）x+=0，（x-
）（x-1）=0，解得x1=
，x2=1，∵OA＜OB，
∴OA=1，OB=
，∴A（1，0），B（0，
），∴AB=2，
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4，
∴C（-3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2
．①当点M在CB边上时，S=2
-t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t-2
（t＞2）；（3）存在，Q1（-1，0），Q2（1，-2），Q3（1，2），Q1（1，
）．点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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