Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（-2，0），B（0，-2）、过D（1，0）作平行于y轴的直线l；

（1） 求一次函数y＝kx+b的表达式；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为____ ____.

（3）M（s，t）为直线l上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则求M，N点的坐标；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）M（1，），N（-3，）或M（1，），N（-3，）；或M（1，），N（-3，）.

【解析】

（1）把A（-2，0），B（0，-2）代入y=kx+b中解出即可；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，交y轴于点P，此时值最小，求出DE长即可；

（3）得到M坐标为（1，t），则，，，得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则分类讨论：①∠AMB=90°，即；②∠MAB=90°，即；③∠MBA=90°，即分别求出t即可求出M，N的坐标.

（1）把A（-2，0），B（0，-2）代入y=kx+b，

可得，解得 ，

∴直线AB的函数表达式为；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，交y轴于点P，

此时值最小，

∵A（-2，0），B（0，-2），

∴OA=2，OB=2，

∴tan∠ABO=，

∴∠ABO=30°，

∵DE⊥AB，

∴PE=，

，

∴DE⊥AB于点E，交y轴于点P时，取最小值，

∵∠AOB=90°，

∴∠DAE=60°，

∵AD=3，

∴，

∴的最小值为：；

（3）∵M（s，t）为直线l上的一个动点，

∴M坐标为（1，t），

∴，

∴，，

使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则分类讨论：

①∠AMB=90°，即，

∴，

解得：，

∴M（1，），

则M（1，）到B（0，-2）是向左一个单位，向下个单位，

∵A（-2，0），

∴N（-3，）；

②∠MAB=90°，即，

∴，

解得：，

∴M（1，），

则M（1，）到B（0，-2）是向左一个单位，向下个单位，

∵A（-2，0），

∴N（-3，）；

③∠MBA=90°，即，

∴，

解得：，

∴M（1，），

则M（1，）到B（0，-2）是向左一个单位，向下个单位，

∵A（-2，0），

∴N（-3，）；

综上，M（1，），N（-3，）或M（1，），N（-3，）；或M（1，），N（-3，）.