Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁．
（1）求正方形ABCD的面积；
（2）求正方形A₁B₁C₁C的面积；
（3）若按题中的规律继续作正方形A₃B₃C₃C₂…，则正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积为______．（用含n的式子表示）

Answer 1

解：（1）∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．
∴OA=1，OD=2，
在Rt△AOD中，AD==，
∴正方形ABCD的面积为：（）²=5；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴，
即，
解得：A₁B=，
∴A₁C=A₁B+BC=，
∴正方形A₁B₁C₁C的面积为：（）²=；

（3）∵正方形ABCD的面积为：5，正方形A₁B₁C₁C的面积为：=×5，
同理可得：正方形A₂B₂C₂C₁的面积为：××5=（）²×5，
∴正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积为为：（）ⁿ×5．
故答案为：（）ⁿ×5．
分析：（1）由点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．即可求得OA与OD的长，然后由勾股定理即可求得AD的长，继而求得正方形ABCD的面积；
（2）易证得△DOA∽△ABA₁，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得A₁B的长，即可求得A₁C的长，即可得正方形A₁B₁C₁C的面积；
（3）观察可得规律：正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积为（）ⁿ×5．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．