Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接BO，                            

方法一：∵ AB＝AD＝AO

∴△ODB是直角三角形        

∴∠OBD＝90°    即：BD⊥BO

                           ∴BD是⊙O的切线．                 

方法二：∵AB＝AD，    ∴∠D＝∠ABD

∵AB＝AO，     ∴∠ABO＝∠AOB

又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°

                           ∴∠OBD＝90°    即：BD⊥BO

                           ∴BD是⊙O的切线            

（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF

∴△ACF∽△BEF                       

                      ∵AC是⊙O的直径

                      ∴∠ABC＝90°

在Rt△BFA中，cos∠BFA＝

∴      

                        又∵＝8

                 ∴＝18