Question

已知：关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+2m=0．
（1）求证：无论m为何值，此方程总有两个实数根；
（2）若x为此方程的一个根，且满足0＜x＜6，求整数m的值．

Answer 1

（1）证明：∵关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+2m=0中，a=1，b=2m+1，c=2m，
∴△=（2m+1）²-4×1×2m=4m²-4m+1=（2m-1）²
∵（2m-1）²≥0，即△≥0，
∴无论m为何值，此方程总有两个实数根；

（2）解：因式分解，得 （x+2m）（x+1）=0．
于是得 x+2m=0或x+1=0．
解得 x₁=-2m，x₂=-1，
∵-1＜0，而0＜x＜6，
∴x=-2m，即 0＜-2m＜6．
∴-3＜m＜0，
∵m为整数，
∴m=-1或-2．
分析：（1）先求出△的值，再判断出△的符号即可；
（2）先求出一元二次方程的根，再根据0＜x＜6求出m的值即可．
点评：本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系是解答此题的关键．