Question

已知a、b是实数，关于x、y的方程组

y=x3-ax2-bx y=ax+b

有整数解（x，y），求a，b满足的关系式．

Answer 1

分析：首先根据已知条件把ax+b代入y=x³-ax²-bx中消去未知数a，b，然后整理式子y=x³-xy，使其变为用含x的代数式表示y，再根据x，y都是整数进行分类讨论，计算出x与y的值，再把x与y的值代入y=ax+b中即可

解答：解：将y=ax+b代入y=x³-ax²-bx，消去a，b，得：
y=x³-xy，于是（x+1）y=x³，
若x+1=0，即x=-1，则上式左边为0，右边为-1不可能，所以x+1≠0，
于是y=

x3

x+1

=x²-x+1-

1

x+1

∵x，y都是整数
∴x+1=±1
即：x=-2或x=0
∴y=8或y=0
故

x=-2 y=8

或

x=0 y=0

当

x=-2 y=8

时，代入y=ax+b得：-2a+b=8，变形的2a-b+8=0
当

x=0 y=0

时，代入y=ax+b得：b=0
综上所述，a，b满足关系式是2a-b+8=0或b=0，a是任意实数

点评：此题主要考查了整体代入法消元和数学中的分类讨论思想的运用，做此题的关键是分类讨论时要考虑全面，题目难度较大，综合性较强．