Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)；（2）或；（3）存在，，

【解析】

由题意可知，本题考察二次函数的图像，性质与梯形．

（1）根据题意A、D、C三点，分别令横坐标和纵坐标为零，进行求解．

（2）根据题意可求出对称轴，通过△MAD的面积与△CAD的面积相等，且AD为三角形公共边，运用对称以及代入求值法进行求解．

（3）根据题意分别以BC，AP为底，运用一次方程解析式求法以及与二次函数联立方程组，进行求解

解：（1）当时，

解得：，

当时，

∴A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)

（2）设M点的坐标为（），可知，

∵

∴

∴,即

∵M点在抛物线上

∴，当时，

解得

当时，

解得0或2

当时，点M与点C重合，故舍去；

综上所述，M点坐标或

（3）存在；如图1所示，若,此时梯形为

∵点B为点C关于抛物线对称轴的对称点

∴BC与对称轴垂直，故轴

∴点位于轴上，故点此时与D重合，对称轴为，，

∵，

∴为梯形，此时点的坐标为(－1，0)

如图2所示，若，此时梯形为，设直线AB的解析式为：

∵直线过点A(3,0)，B(2,-3)

∴

解得：

∴直线AB的解析式为

∵

∴可设直线的解析式为：

把C(0,-3)代入，可得n=-3

∴直线的解析式为：

∵为直线与抛物线的交点，可得

解得：（舍去）或

将代入，可得，

∴点的坐标为(5,12)

∴

∵，

∴为梯形

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，P点的坐标为(-1,0)或(5,12)