Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx-2经过（2，1）和（6，-5）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，点P是在直线x=4右侧的此抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标；
（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线过（2，1）和（6，-5）两点，所以把以上两点的坐标代入求出a和b的值即可求出抛物线的解析式；
（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．解这个方程，得x₁=1，x₂=4．所以A（1，0），B（4，0）．令x=0，得y=-2．所以可得到C（0，-2），P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）．再分别①当

OC

MA

=

OB

MP

时，△OCB∽△MAP时和②当

OC

MP

=

OB

MA

时，△OCB∽△MPA，讨论求出符合题意的m值即可；
（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，由菱形的性质，分别从以OB，BE，EF为对角线去分析即可求得答案．

解答：解：（1）把（2，1）和（6，-5）两点坐标代入得

4a+2b-2=1 36a+6b-2=-5.

，
解这个方程组，得 

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
故抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）令y=0，得-

1

2

x2+

5

2

x-2=0．
解这个方程，得x₁=1，x₂=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．   
设P（m，  -

1

2

m2+

5

2

m-2）．
因为∠COB=∠AMP=90°，
①当

OC

MA

=

OB

MP

时，△OCB∽△MAP．
∴

2

m-1

=

4

1 2 m2- 5 2 m+2

．
解这个方程，得m₁=8，m₂=1（舍）．
∴点P的坐标为（8，-14）．
②当

OC

MP

=

OB

MA

时，△OCB∽△MPA．
∴

2

1 2 m2- 5 2 m+2

=

4

m-1

．
解这个方程，得m₁=5，m₂=1（舍）．
∴点P的坐标为（5，-2）．
∴点P的坐标为（8，-14）或（5，-2）；

（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，则以OB，BE，EF为对角线作出来图形，可得到4个菱形；得出点F的坐标为(

8

5

5

，  

4

5

5

)或(-

8

5

5

， - 

4

5

5

)或(

8

5

， - 

16

5

)或（2，1）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象和坐标轴的交点坐标以及相似三角形的判定和性质、菱形的性质等知识．题目综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．