Question

如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点P从点C出发沿CA边以1cm/s的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．伴随着P、Q运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线BC（或AB或CA）于点E．设P、Q运动的时间是t秒（0＜t＜10）．
（1）当t=2s时，求AP的长．
（2）设△APQ的面积为S（cm²），图中，当点P从C向A运功的过程中，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使△APQ的面积是△ABC面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）当点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）当t=2时，CP=2，则AP=4；
（2）作QF⊥AC于点F，则△AQF∽△ABC，得出=，又AQ=CP=t，则AP=6-t，则得出S与t的函数关系式即可；
（3）根据△ABC面积的=24×=2，再利用S=-t²+t=2，求出即可；
（4）①当DE∥QB时，则四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得=，即求得t，
②当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得=，解得t．
解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2cm，
∵AC=6cm，∴AP=4cm；

（2）如图1，作QF⊥AC于点F．
∴△AQF∽△ABC，
∴=，
又∵AQ=CP=t，∴AP=6-t，BC==8（cm），
∴=，
∴QF=t，
∴S=（6-t）•t，
即S=-t²+t；

（3）∵△ABC面积为：×AC×BC=×6×8=24，
∴△ABC面积的=24×=2，
∴S=-t²+t=2，
整理得出：t ²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5，
即当t=1或5秒时，使△APQ的面积是△ABC面积的；

（4）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，
得=，
∴=，
解得t=；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得=，
即=．
解得t=．
综上，可知当t=或时，四边形QBED能成为直角梯形．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理和三角形面积求法等知识，是中考压轴题，注意分类讨论思想的应用．