Question

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
（1）写出图中所有的相似三角形______．
（2）求证：①AC²=AD•AB；②BC²=BD•AB；③CD²=AD•DB．

Answer 1

（1）解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC；
故答案为：△ACD∽△CBD∽△ABC；

（2）证明：①∵△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；

②∵△CBD∽△ABC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴BC²=BD•AB；

③∵△ACD∽△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，
∴CD²=AD•DB．
分析：（1）由在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可得∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，又由公共角相等，证得△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，则可得△ACD∽△CBD∽△ABC；
（2）①由△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论；
②由△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论；
③由△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．