Question

如图，?ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E．设AP=x，当x=________时，△ABP与△EBC相似．

Answer 1

8
分析：过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值．
解答：过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°
∴，
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB，
∴∠ABP=∠ECB
∴即
解得 （不合题意，舍去）
∴x=8，
故答案为8．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神