Question

如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝.

（1）求k的值；

（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图像上的点，

在y轴上是否存在点P，使得PM＋PN最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

由y＝x＋1可得A（0，1），即OA＝1      

∵tan∠AHO＝，∴OH＝2                 

∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为2.

∵点M在直线y＝x＋1上，

∴点M的纵坐标为3.即M（2，3）          

∵点M在上，∴k＝2×3＝6.         

（2）∵点N（1，a）在反比例函数的图像上，

     ∴a＝6.即点N的坐标为（1，6）          

过N作N关于y轴的对称点N₁，连接MN₁，交y轴于P(如图)

此时PM＋PN最小.                           

∵N与N₁关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），

∴N₁的坐标为（-1，6）                      

设直线MN₁的解析式为y＝kx＋b.

把M，N₁ 的坐标得

 

 解得                                      

∴直线MN的解析式为.

令x＝0，得y＝5.

 ∴P点坐标为（0，5）