Question

如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，得到△AOH．在抛物线y=x²（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形△POQ与△AOH全等，则符合条件的△AOH的面积是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．
解答：解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=30°，
∴直线OA：y=x，联立抛物线的解析式，
∴，
解得或
故A（，），
∴S_△AOH=××=；
②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得，解得或，
∴P（，3），A（3，）
∴S_△AOH=×3×=；
③如图3，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得，，解得或，
∴P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
∴A（2，2），
∴S_△AOH=×2×2=2；
④如图4，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得，解得或，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QP，QP=，AH=OP=，
∴A（，），
∴S_△AOH=××=．
综上所述，△AOH的面积为：，2，，．
故答案为：，2，，．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解答此题时一定要注意进行分类讨论．