Question

（2013•海陵区模拟）已知点A是双曲线y=

3

x

在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为

y=-

9

x

（x≠0）

．

Answer 1

分析：设点A的坐标为（a，

3

a

），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，继而得出y与x的函数关系式．

解答：解：设A（a，

3

a

），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=

3

AO，
∵AO=

a2+( 3 a )2

，
∴CO=

3a2+ 27 a2

，

过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即

3 a

a

=

x

-y

，
解得：y=-

a2

3

x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+

27

a2

，
将y=-

a2

3

x代入，可得：x²=

27

a2

，
故x=

3 3

a

，y=-

a2

3

x=-

3

a，
则xy=-9，
故可得：y=-

9

x

（x≠0）．
故答案为：y=-

9

x

（x≠0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．