Question

所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m，所有以质数q为分母的最简真分数的和记为n．若mn=48，求m+n的可能值．

Answer 1

分析：先根据质数的定义得出所有以p、q为分母的真分数的和，再根据mn=48可得到（p-1）（q-1）=2⁶×3，再把2⁶×3进行分解，找出符合条件的p和q，求出对应的m和n的值即可．

解答：解：因为p为质数，
所以

1

p

，

2

p

，…，

p-1

p

为最简真分数，
所以m=

1+2+…+(p-1)

p

=

p-1

2

，
同理可得n=

q-1

2

，
所以（p-1）（q-1）=2⁶×3．
首先，因为上式右端3的因子只有一个，
所以p和q不可能相等，不妨设p＞q，
因为2⁶×3=2×96=4×48=8×24=16×12=32×6=3×64，
所以p和q可以是以下情形：
p=97，q=3，对应的m+n=49，
p=17，q=13，对应的m+n=14．
故答案为：49，14．

点评：本题考查的是质数的定义，即在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数叫质数．