Question

如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．
（1）∠E=

 

度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦DE的长．

Answer 1

分析：由“同弧所对的圆周角相等”可知∠E=∠ACD=45°，∠CAE=∠EDC，所以△ACP∽△DEP；求弦DE的长有两种方法：
一，利用△ACP∽△DEP的相似比

AP

DP

=

AC

DE

求DE的长；
二、过点D作DF⊥AE于点F，利用Rt△DFE中的勾股定理求得DE的长．

解答：解：（1）∵∠ACD=45°，∠ACD=∠E，
∴∠E=45°．（2分）

（2）△ACP∽△DEP，（4分）
理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．（6分）

（3）方法一：
∵△ACP∽△DEP，
∴

AP

DP

=

AC

DE

．（7分）
∵P为CD边中点，
∴DP=CP=1
∵AP=

AD2+DP2

=

5

，AC=

AD2+DC2

=2

2

，（9分）
∴DE=

2 10

5

．（10分）
方法二：
如图2，过点D作DF⊥AE于点F，
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=

5

．（7分）
又∵S_△ADP=

1

2

AD•DP=

1

2

AP•DF，（8分）
∴DF=

2 5

5

．（9分）
∴DE=

2

DF=

2 10

5

．（10分）

点评：此题主要考查相似三角形的判定及圆周角定理的运用．