Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．
（1）求AB的长；
（2）如图1，点P从A点出发以每秒2cm的速度沿AB方向匀速运动，同时点Q从C点出发以每秒1cm的速度沿CA方向匀速运动．连接PQ，若设运动的时间为t秒（0＜t＜5）．
①当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似；
②设四边形BCQP的面积为y，求y的最小值；
③如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′，当t为何值时，四边形AQPQ′为平行四边形．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）先用t表示出AP、AQ，①分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
②过点P作PD⊥AC于D，根据△APD和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DP，然后根据S_{四边形BCQP}=S_△ABC-S_△APQ列式整理即可得解，再利用二次函数的最值问题求出y的最小值；
③根据翻折的性质可得AQ=AQ′，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形AQPQ′为菱形，连接QQ′，根据菱形的性质可得QQ′垂直平分AP，设QQ′与AP相交于点E，表示出AE，然后利用∠BAC的余弦值列式求解即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10cm；

（2）∵点P的速度是每秒2cm，点Q的速度是每秒1cm，
∴AP=2t，AQ=6-t，
①∠APQ=90°时，∵△AQP∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

6-t

10

=

2t

6

，
解得t=

18

13

，
∠AQP=90°时，∵△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
即

2t

10

=

6-t

6

，
解得t=

30

11

，
综上所述，t值为

18

13

秒或

30

11

秒时，以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似；

②如图1，过点P作PD⊥AC于D，
∵∠C=90°，
∴DP∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

DP

BC

=

AP

AB

，
即

DP

8

=

2t

10

，
解得DP=

8

5

t，
S_{四边形BCQP}=S_△ABC-S_△APQ，
=

1

2

AC•BC-

1

2

AQ•DP，
=

1

2

×6×8-

1

2

×（6-t）•

8

5

t，
=

4

5

（t-3）²-

36

5

+24，
=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
即y=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
∵

4

5

＞0，
∴t=3时，y有最小值

84

5

；

③根据翻折的性质，AQ=AQ′，
又∵四边形AQPQ′为平行四边形，
∴四边形AQPQ′为菱形，
如图2，连接QQ′，则QQ′垂直平分AP，
设QQ′与AP相交于点E，
则AE=

1

2

AP=

1

2

×2t=t，
cos∠BAC=

AE

AQ

=

AC

AB

，
∴

t

6-t

=

6

10

，
解得t=

9

4

，
故t为

9

4

秒时，四边形AQPQ′为平行四边形．

点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与菱形的对角线互相垂直平分的性质，翻折变换的性质，（2）①难点在于要分情况讨论，②把不规则图形的面积利用两个规则的三角形的面积表示是解题的关键，③作菱形的对角线构造出直角三角形是解题的关键．