Question

如图，在□ABCD中，BC=10，F为AD中点，CE⊥AB于点E，设∠B=

⑴ 当时，求CE的长；

⑵ 当时，

①     连接CF并延长，交BA的延长线于点G，过点F做FH∥AB交BC于H，

求证：∠EFD=3∠AEF

②     若AB=5，当取最大值时，求tan∠DCF的值.

   

Answer 1

（1）解：∵CE⊥AB

    ∴∠BEC=90°

又∵∠a=60°

∴∠ECB=180°－∠BEC－∠a= 180°－90°－60°=30°

又∵∠a=60°

∴EB=CB=5

∴CE=

                                   又∵CE⊥AB

                  ∴∠CEA=90

∴EF=GC=FC

又∵FH∥AB，CE⊥AB

∴CE⊥FH   ∠EFH=∠AEF

∴∠EFH=∠CFH

又∵FH∥AB，AB∥CD，AD∥BC

∴四边形CDFH是平行四边形

∴FD=CH，FH=CD

又∵FC=CF

（2）①证明：∵F是AD的中点                  ∴△FCH△CFD（SSS）

∴AF=DF                        ∴∠CFD=∠CFH

又∵四边形ABCD是平行四边形      ∴∠AEF=∠EFH=∠HFC

∴AB∥CD       AD∥BC                    =∠CFD

∴∠G=∠DCF   ∠GAF=∠D        ∴∠EFD=∠EFH+∠HFC

 又∵在△AFG和△DFC中                      +∠CFD=3∠AEF

             

∴△AFG△DFC（AAS）

∴GF=CF （2）②设EB=x，        ∵四边形ABCD是平行四边形 ，AB=5 ∴CD=AB=5 又∵△AFG△DFC ∴GA=CD=5， ∴GE=GB-BE=AB+AG=5+5-x=10-x ∴Rt△BCF中，CE=10-x 又∵CF=GC    GC=GE+EC ∴CF=GC ∴CE-CF=10-x-[(10-x) +10-x]=-(x-)+56 ∴当x=时，CE-CF取到最大值  即E点在AB中点。 ∴tan∠DCF=