Question

己知：如图10．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。

（1）求证：∠DAC=∠DBA

（2）求证：P处线段AF的中点

（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值。

 

Answer 1

（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA  

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD        （1分）

∴∠DAC =∠DBA                                             （2分）

（2）∵AB为直径，∴∠ADB=90°                               （3分）

又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90°

∴∠ADE +∠EDB=∠ABD +∠EDB=90°

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP                                          （4分）

∴PD=PA                                                      （5分）

又∵∠DFA +∠DAC=∠ADE +∠PD F=90°且∠ADE=∠DAC

∴∠PDF=∠PFD                                                （6分）

∴PD=PF

∴PA= PF，即P是线段AF的中点                                （7分）

（3）∵∠DAF =∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°

     ∴△FDA ∽△ADB                                         （8分）

     ∴                                             （9分）

∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD=

即tan∠ABF=                                                （10分）