Question

如图，△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于O点，AB=6，BC=10，AC=8，试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF大小．

Answer 1

分析：根据勾股定理的逆定理推知△EFD、△ABC是直角三角形，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AD=

1

2

BC=5，然后根据三角形重心的性质求得OA的长度．

解答：解：∵在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，
∴BC²=AB²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°．
∵点O是△ABC的重心，AD=

1

2

BC=5，
∴OA=

2

3

AD=

10

3

．
在直角△AFC中，CF=

AC2+AF2

=

82+33

=

73

，
∴OF=

1

3

FC=

73

3

．
∵△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，
∴DE、EF、FD是△ABC的三条中位线．
∴DE=

1

2

AB=3，EF=

1

2

BC=5，FD=

1

2

AC=4，
∴EF²=DE²+FD²，
∴△EFD是直角三角形，且∠EDF=90°．
综上所述，DE=3，OA=

10

3

，OF=

73

3

，∠EDF=90°．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理的逆定理以及三角形的重心．三角形的中位线等于第三边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的重心把三角形的中线分为1：2两部分．